Təyyarə tənlik necə etmək olar? Növləri təyyarə tənliklər

təyyarə kosmik müxtəlif yollarla (s bir dot və vektor, vektor və iki xal, üç xal) müəyyən edilə bilər. Bu nəzərə ilə, təyyarə tənlik müxtəlif növləri var bilər. Həmçinin müəyyən şərtlər altında təyyarə ola bilər paralel, dik, kəsişən və s Bu bu məqalədə danışacağıq. Biz təyyarə və yalnız ümumi tənlik etmək öyrənmək olacaq.

tənlik normal forması

R düzbucaqlı sistem XYZ koordinat var kosmik _3, düşünək. Biz vektor alfa sonuna vasitəsilə başlanğıc nöqtəsi O. azad olunacaq vektor α, bu dik təyyarə P çəkmək müəyyən edir.

ixtiyari nöqtə Q = (x, y, z) və P adlanır. point Q işarə məktub p radius vektor. vektor uzunluğu a p = IαI və Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ) bərabərdir.

vektor alfa kimi istiqamətdə yönəlmiş bu bölmənin vektor. α, β və γ - z müvafiq vektor və müsbət istiqamətləri arasında formalaşır açılar Ʋ kosmik baltalar x, y var. vektor QεP Ʋ bir nöqtəsi proyeksiya p (p, Ʋ) = p (r≥0) bərabər olan daimi deyil.

yuxarıda tənlik zaman p = 0 mənalı. onun istiqaməti, vektor Ʋ müəyyən o deməkdir ki, baxmayaraq ki, bu halda yalnız n təyyarə, P dik olacaq point O azad mənşəli point O (α = 0), və vahid vektor Ʋ, keçmək olardı işarəsi qədər. Əvvəlki tənlik bizim təyyarə P, vektor şəklində dilə gətirdi. Amma onun koordinatları baxımından edir:

P və ya daha çox Biz normal formada təyyarə tənlik gördük 0 bərabərdir.

general tənlik

koordinatları tənlik sıfıra bərabər deyil, hər hansı bir sayı çoxaltmaq, biz çox təyyarə müəyyən bu tənlik ekvivalent almaq. Bu, aşağıdakı formada olacaq:

Burada A, B, C - sıfırdan fərqli eyni zamanda sayı. Bu tənlik təyyarə ümumi formada tənlik adlanır.

təyyarələrin tənliklər. Daşınmaların xüsusi halları

tənlik ümumiyyətlə əlavə şərtlər ilə dəyişdirilə bilər. bəziləri hesab edir.

əmsalı A 0 ki, bu göstərir Fərz edək ki, müəyyən bir ox Ox təyyarə paralel. Bu halda, tənlik forması dəyişir: Wu + Cz + D = 0.

Eynilə, tənlik forma və aşağıdakı şərtləri ilə dəyişir:

• Birincisi, B = 0 əgər ox Oy paralellik göstərir ki Ax + Cz + D = 0 tənlik dəyişikliklər.
• İkincisi, C = 0 əgər tənlik Ax + By + D = 0 çevrilir ki, müəyyən bir ox Oz paralel haqqında demək deyil.
• Üçüncüsü, D = 0 əgər tənlik təyyarə O (mənşə) intersects deməkdir Ax + By + Cz = 0, kimi görünür.
• Dördüncüsü, əgər A = B = 0, oxy paralellik sübut edəcək Cz + D = 0 tənlik dəyişikliklər.
• Beşincisi, B = C = 0 əgər tənlik təyyarə Oyz paralel o deməkdir ki, Ax + D = 0 olur.
• A = C = 0, tənlik şəklində Wu + D = 0, sürsə Altıncısı, yəni, paralellik Oxz hesabat verəcək.

seqmentlərində tənlik Form

halda olduğu nömrələri A, B, C, sıfırdan D fərqli tənlik şəklində (0) aşağıdakı ola bilər:

x / a + y / b + z / c = 1,

orada bir = D / A, b = D / B, c = -D / C.

Biz ədəd təyyarə nəticəsində tənlik kimi alır. (0, b, 0), və Oz - - (0,0, s) bu təyyarə koordinatları (a, 0,0), Oy ilə nöqtədə x-ox kəsişmək ki, qeyd etmək lazımdır.

tənlik x / a + y / b + z / c = 1, bir koordinat müəyyən bir sistemə yerləşdirilməsi təyyarə nisbətən görüntüləmək üçün çətin deyil nəzərə alaraq.

normal vektor koordinatları

təyyarə P normal vektor n general təyyarə tənlik, yəni n (A, B, C) əmsalları var koordinatları var.

normal n koordinatları müəyyən etmək üçün, təyyarə verilən ümumi tənlik bilmək kifayətdir.

var bölməsində tənlik istifadə edərkən forma x / a + y / b + z / c = 1, general tənlik kimi, biz bir təyyarə normal vektor hər hansı koordinatları yazmaq olar: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Bu yardım normal vektor müxtəlif problemləri həll etmək üçün ki, qeyd etmək lazımdır. Ən ümumi problemləri, sübut şaquli və ya paralel təyyarə təyyarə və ya təyyarə və düz xətləri arasında açılar arasında açılar tapmaq vəzifəsi ibarətdir.

point normal vektor təyyarə tənlik və koordinatları görə yazın

bir təyyarə dik A nonzero vektor n, müəyyən bir təyyarə normal (normal) çağırıb.

koordinat yer müəyyən Oxyz (düzbucaqlı koordinat sistemi) Fərz edək ki:

• koordinatları ilə Mₒ point (hₒ, uₒ, zₒ);
• sıfır vektor n = i B * j + C * k + A *.

Siz normal n dik Mₒ nöqtəsi keçir təyyarə tənlik etmək lazımdır.

məkanında hər hansı bir ixtiyari point seçin və M (x, y, z) adlanır. olacaq hər nöqtə M (x, y, z) radiusu vektor edək r * i y * j + z * k, və bir point Mₒ radius vektor (uₒ, hₒ, zₒ) + x = - rₒ = hₒ * i uₒ + * + zₒ * k j. vektor MₒM vektor n dik Əgər point M, bir təyyarə aid olacaq. Biz scalar məhsul istifadə orthogonality vəziyyəti yazın:

[MₒM, n] = 0.

MₒM = r-rₒ ildən, təyyarə vektor tənlik bu kimi görünür:

[R - rₒ, n] = 0.

Bu tənlik başqa forma ola bilər. Bu məqsədlə, scalar məhsul xüsusiyyətləri, və tənlik sol çevrilir. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. [Rₒ, n] s kimi denoted, biz aşağıdakı tənlik almaq: [r, n] - Bir = 0 və ya təyyarə aid verilmiş bal radius-istiqamətini normal vektor proqnozları sabitlik ifadə [r, n] = s.

İndi növü qeyd təyyarə bizim vektor tənlik koordinasiya əldə edə bilərsiniz [r - rₒ, n] = 0-ci ildən r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, və n = i B * j + C * k + A *, biz var:

Bu tənlik normal n dik nöqtəsi keçən təyyarə formalaşır ki, həyata çevirir:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

təyyarə tənlik və vektor təyyarə collinear iki xal koordinatları görə yazın

Biz iki ixtiyari xal M "(x, y, z) və M" (x ", y", z "), eləcə də vektor (a, a" bir ‴) müəyyən edir.

İndi biz tənlik müəyyən bir mövcud point M "və M" keçir təyyarə və bir vektor koordinatları M (x, y, z) paralel ilə hər point yaza bilərsiniz.

Belə ki, M'M istiqamətini x = {x ', y-y'; zz "} və M" M = {x "-x, y 'y'; z" z "} vektor ilə Coplanar olmalıdır a = (a ', bir "deməkdir, bir ‴) ki, (M'M M" M, a) = 0.

Belə məkanında bir təyyarə bizim tənlik bu kimi görünür:

təyyarə tənlik növü, üç xal keçid

eyni xətt aid olmayan, (x ‴ have ‴, z ‴) '(x (x, y, z), y, z'): biz üç xal var deyirlər. Bu müəyyən üç xal keçən təyyarə tənlik yazmaq lazımdır. həndəsə nəzəriyyəsi yalnız və yalnız var, təyyarə bu cür mövcuddur ki, iddia edir. Bu təyyarə nöqtəsi kəsişir-ci ildən (x, y, z), onun tənlik şəklində ola bilər:

Burada A, B, və C eyni zamanda sıfırdan fərqlidir. Həmçinin verilən təyyarə (x ", y", z ") və (x ‴, y ‴, z ‴) daha iki xal kəsişir. Bununla əlaqədar olaraq şərtlər bu cür həyata keçirilməlidir:

İndi biz vahid sistem yarada tənliklər (xətti) və bilinməyənlər u, v, w ilə:

Bizim halda x, y və ya z tənlik (1) qane ixtiyari nöqtə dayanır. (1) tənliyinin və tənliklər (2) və yuxarıda rəqəmi göstərilən tənliklər (3) sistemi sistemi nəzərə alaraq, vektor qane N (A, B, C) nontrivial olan. sisteminin determinant sıfır, çünki edir.

Equation (1) biz var ki, bu təyyarə tənlik edir. 3 point o, həqiqətən gedir və bu yoxlamaq üçün asandır. Bunu etmək üçün, biz ilk sırada elementləri ilə determinant genişləndirmək. mövcud xassələri determinant (x ', y, z), (x ", y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴) bizim təyyarə eyni zamanda üç ilk əvvəldən təyin olunan nöqtəyə intersects ki, aşağıdakı. Belə ki, biz qarşımızda vəzifə etmək qərarına gəlib.

təyyarələri arasında dihedral bucaq

Dihedral bucaq bir düz xətt çıxmaq iki yarım təyyarə meydana gətirdiyi bir məkan həndəsi forma deyil. Başqa sözlə, yarım təyyarələri ilə məhdudlaşır kosmik hissəsidir.

biz aşağıdakı tənliklər ilə iki təyyarə var düşünək:

Biz bilirik ki, vektor N = (A, B, C) və müəyyən təyyarələri görə N¹ = (â¹, H¹, S¹) dik. Bu baxımdan, bu təyyarələri arasında yerləşir istiqamətini N və N¹ bərabər bucaq (dihedral) arasında φ bucağı. scalar məhsul verilir:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

dəqiq çünki

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + ²)) * (√ (â¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Bu 0≤φ≤π hesab üçün kifayət edir.

kəsişdiyi Əslində iki təyyarə formu iki bucaq (dihedral): φ ₁ və φ _2. Onların məbləği (φ ₁ + φ ₂ = π) π bərabərdir. Onların kosinus kimi, ki, cos φ ₁ = -cos φ ₂ onların mütləq dəyərlər bərabər, lakin onlar müxtəlif dəlillər _vardır. tənlik (0) müvafiq olaraq A, B və A, B C və C, tənlik ilə əvəz olunur, biz almaq, tənlik cos φ ilə φ yalnız bucaq eyni təyyarə müəyyən edəcək = NN ¹ / | N || N ¹ | Bu π-φ ilə əvəz olunacaq.

dik təyyarə tənlik

təyyarə dik çağırılan arasında bucaq 90 dərəcədir. Yuxarıda təqdim material istifadə edərək, digər dik bir təyyarə tənlik tapa bilərsiniz. biz iki təyyarə var düşünək: Ax + By + Cz + D = 0 və + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Biz onların orthogonal demək olar ki, cos = 0 əgər. Bu, NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0 deməkdir.

paralel təyyarə tənlik

Bu ümumi bir xal olan iki paralel təyyarə edilir.

şərt paralel təyyarələri (onların tənliklər əvvəlki bənddə kimi eyni) olduğu onlara dik istiqamətini N və N¹, collinear. Bu, aşağıdakı şərtlər mütənasiblik görüşüb deməkdir:

A / â¹ = B / C = H¹ / S¹.

proporsional şərtlər geniş varsa - A / â¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

Bu eyni data təyyarə olduğunu göstərir. Bu + + D¹ = 0 bir təyyarə təsvir + Cz + D = 0 və + A¹h V¹u S¹z üzrə olduğunu tənlik Ax + deməkdir.

təyyarə baxımdan məsafə

biz (0) tərəfindən verilir ki, təyyarə P var düşünək. Bu koordinatları ilə baxımdan məsafə tapmaq lazımdır (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. Siz bunu etmək üçün təyyarə II normal görünüşü tənlik gətirmək lazımdır:

(Ρ, v) p (r≥0) =.

Bu halda, ρ (x, y, z) n p yerləşən bizim point Q, radiusu vektor deyil - n sıfır nöqtəsindən azad edilib, dik uzunluğu, v - bir istiqamətdə təşkil olunur vahid vektor edir.

bir point Q = (x, y, z) fərqi ρ-ρº radius vektor n aid Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) belə bir vektor, proyeksiya mütləq dəyər olan bir verilmiş kəsir radius vektor v Q-dan tapmaq lazımdır məsafə d bərabərdir = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, lakin

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Belə ki, həyata çevirir

d = | (ρ ^0, v) p |.

İndi Q təyyarə P _0-dan məsafə d hesablamaq ki, aydındır ki, bu, normal görünüşü təyyarə tənlik istifadə etmək lazımdır, s sol shift və x, y son yeri, z əvəz (hₒ, uₒ, zₒ).

Belə ki, biz d tələb olunur, nəticədə ifadə mütləq dəyər tapa bilərsiniz.

dil parametrləri istifadə edərək, biz açıq-aydın almaq:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + ² + s²).

müəyyən point Q ₀ vektor arasında, sonra mənşə kimi təyyarə P digər tərəfdən, əgər ρ-ρ ⁰ və v deyil , bir küt bucaq belə:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) p> 0.

U eyni tərəfində yerləşən mənşəli ilə birlikdə point Q _0, kəskin bucaq yaradılmışdır halda, ki:

p = d = (v ρ-ρ ⁰⁾ - (ρ ^0, v)> 0.

nəticəsidir ki, keçmiş halda ikinci (ρ ^0, v)> p (ρ ^0, v)

Və onun toxunan təyyarə tənlik

toxunan keçməsini Mº nöqtəsində səthi təyyarə bağlı - səthində ki nöqtəsi vasitəsilə tərtib əyri üçün bütün mümkün toxunan olan bir təyyarə.

toxunan təyyarə toxunan point Mº tənlik ilə tənlik F (x, y, z) = 0 (uº, hº, zº) olacaq bu səthi formada:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

yerüstü aydın z = f (x, y) müəyyən edilir, sonra toxunan təyyarə tənlik təsvir edilir:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

iki təyyarə kəsişməsində

In üç ölçülü məkanda üst-üstə düşür və üst-üstə düşmür "və P 'iki təyyarə P verilən koordinat sistemi (düzbucaqlı) Oxyz edir. general tənlik müəyyən edilmiş düzbucaqlı koordinat sistemi ilə hər hansı bir təyyarə, ildən, biz n + B x '+ y "A = 0 və və n tənliklər A'x + V'u S'z + + D ilə müəyyən edilir" güman "z + D" ilə = 0. Bu halda biz təyyarə P 'və normal n "(A", B ", C") təyyarə P "nin normal n' (A ', B, C') var. Bizim təyyarə paralel deyil və üst-üstə düşmür, sonra bu istiqamətini collinear deyil. n '≠ n "↔ (A', B, C) ≠ (λ * Və", λ * In ", λ * C"), λεR: riyaziyyat dilini istifadə edərək, bu vəziyyəti kimi yazılı bilər var. kəsişmə P yerləşir düz xətt "∩ P və P, bu halda a = P, məktub bir qeydi ediləcək" edək.

və - bir xətt bal (ümumi) təyyarələr P 'və P "bir plüralizmi ibarət. Bu xətt a aid hər hansı bir koordinatları, eyni zamanda tənlik A'x + V'u S'z + + D '= 0 və A "x + B" + C y "z + D" = 0 cavab verməlidir deməkdir. Bu kəsir koordinatları aşağıdakı tənliklər xüsusi həll olacaq deməkdir:

nəticə tənliklər bu sistemin həlli (ümumi) kəsişmə P 'və P "nöqtəsinə kimi çıxış edəcək xəttində xal hər koordinatları müəyyən və bir koordinat sistemi Oxyz (düzbucaqlı) kosmik bir xətt müəyyən olacaq.