Fourier transform. Fast Fourier transform. Diskret Furye çevirmək

Fourier transformasiya - transformasiya, bir real dəyişən müəyyən bir funksiyası şərik. Bu əməliyyat biz müxtəlif səslər dərk hər zaman həyata keçirilir. Qulaq yalnız ali riyaziyyat bölməsinin müayinə sonra şüur can yerinə avtomatik "hesablanması" istehsal edir. insan transformasiya orqan eşitmə səs (Bərk, maye və ya qaz orta dalğa şəklində təbliğ elastik mühitdə hissəciklər, ənənəvi rəqsi hərəkət) müxtəlif yüksəkliklərdə ton həcmi səviyyəsinin ardıcıl dəyərlər bir sıra təmin edən, inşa. Bundan sonra, beyin bütün tanış səs daxil məlumat çevrilir.

Riyaziyyat Fourier transform

(Işıq emissiya və okean gelgit və mükəmməl və ya günəş dövründən) həyata keçirilə bilər və riyazi üsullarla səs dalğaları və ya digər vibrasiya proseslərin Dönüşüm. Belə ki, bu üsulları istifadə edərək, funksiyaları dəniz dalğa kimi, minimum yenidən sonra maksimum minimum getmək və sinüsoidal komponentləri, yəni dalğalı əyriləri müəyyən rəqsi prosesləri təqdim genişləndirilə bilər. Fourier transformasiya - xüsusi tezlik müvafiq hər sinusoid mərhələsi və ya amplitude təsvir transformasiya funksiyası. Phase əyri, və amplitude bir başlanğıc nöqtəsidir - onun hündürlüyü.

Fourier (misal şəkil göstərilir) elmin müxtəlif sahələrində istifadə olunur ki, bir çox güclü vasitədir çevirmək. Bəzi hallarda, bir həll olaraq işıq, istilik və ya elektrik enerjisi təsiri altında baş verən dinamik proseslər təsvir olduqca kompleks tənliklər istifadə olunur. Digər hallarda, bu, kimya, tibb və astronomiya müxtəlif eksperimental araşdırmalar şərh doğru ola bilər, bu səbəbiylə kompleks waveforms müntəzəm komponentləri müəyyən etməyə imkan verir.

tarixi məlumat

bu metodu tətbiq etmək ilk şəxs Fransız riyaziyyatçı Zhan Batist Fure idi. sonradan onun adını Conversion, ilk istilik keçiricilik mexanizmi təsvir etmək üçün istifadə edilmişdir. istilik xassələri öyrənilməsi ilə məşğul olan onun bütün böyüklər həyat Fourier. O, cəbri tənliklərin kökləri müəyyən riyazi nəzəriyyəsi böyük töhfələr vermişdir. Fourier Ecole Polytechnique, Egyptology İnstitutunun katibi təhlili professor idi (onun rəhbərliyi altında malyariya bataqlıqlar 80 min kvadrat kilometr drained idi) Turin yolunun tikintisi zamanı bir ortalığı qarışdırdı imperiya xidmət idi. Lakin, bütün bu aktivliyi riyazi analiz edən alim dayanmadı. 1802-ci ildə bu bərk istilik təbliği təsvir bir tənlik əldə olunub. 1807-ci ildə alim "Fourier transform" kimi tanınan oldu bu tənlik həlli üçün bir üsul aşkar.

istilik keçiriciliyi təhlil

Tədqiqatçılar istilik keçirilməsi mexanizmi təsvir etmək üçün riyazi üsul istifadə olunur. hesablanmasında heç bir çətinlik istilik enerjisi təbliği dəmir halqa ilə çıxdığı rahat Məsələn, bir hissəsi yanğın batırılır. həyata keçirmək təcrübələr ring qırmızı isti iştirak Furye və gözəl qum dəfn. Bundan sonra, temperatur ölçmə onun əks hissəsində həyata keçirilir. Əvvəlcə, istilik paylanması qeyri-müntəzəm: ring hissəsi - soyuq, və digər - isti, zonaları arasında müşahidə edə kəskin temperatur gradient. Lakin, metal səthi boyunca istilik paylanması zamanı daha vahid olur. Belə ki, tezliklə bu proses bir sine dalğa formasını alır. First graph tədricən artırır və həmçinin rəvan kosinus və ya sine funksiyası variasiya dəqiq qanunları azalır. Wave tədricən bərabərləşdirib və nəticədə temperatur ring bütün səthində formasını olur.

Bu metodun müəllifi ilkin bölüşdürülməsi ibtidai sine dalğalar bir sıra daxil qaxsımış bilər olduqca nizamsız olduğunu güman. Onların hər biri öz mərhələsi (ilk vəzifəsi) və onun maksimal temperatur olacaq. Belə ki, minimum hər cür komponenti dəyişikliklər maksimum və geri ring tam dəfə ətrafında inqilab başa çatdırmaq üçün. əsas harmonik adlanan dövr, iki və ya daha çox dövrləri dəyəri olan Komponent - ikinci və s. Məsələn, maksimum temperatur təsvir riyazi funksiyası, faza və ya mövqeyi Fourier paylama funksiyası çevirmək çağırıb. ilkin paylanması verilməsi məbləğində, sine və kosinus satır - Scientist asan-istifadə tools, riyazi təsviri çətin olan bir komponent gətirdi.

təhlili mahiyyəti

bir həlqəvi formalı olan bərk obyekt istilik paylanması dönüşüm bu analiz tətbiqi, bir riyaziyyatçı sinusoidal komponentləri artan dövrlərdə sürətli damping səbəb olduğunu əsaslandırılmış. Bu aydın əsas və ikinci harmonik görülür. final temperatur bir keçid iki dəfə maksimum və minimum dəyərlər çatır da - yalnız bir dəfə. İkinci harmonik istilik səyahət məsafə əsas yarısı olduğunu çıxır. Bundan əlavə, ikinci sabahın gradient ilk daha steeper olacaq. daha sıx istilik flux dul minimal məsafə keçir bəri Buna görə, sonra bu dəfə bir funksiyası kimi, əsas dörd dəfə daha sürətli harmonik damped olunacaq. Aşağıdakı prosesində daha sürətli olacaq. Riyaziyyatçı bu üsul bizə vaxt temperatur ilkin bölüşdürülməsi prosesi hesablamaq üçün imkan verir ki.

Call müasirləri

Fourier alqoritm çevirmək zamanda riyaziyyat nəzəri əsasları bir problem olmuşdur. XIX əsrdə Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre və Biot, o cümlədən ən görkəmli alimlər, ilkin bölüşdürülməsi temperatur əsas dalğa və ali tezlik şəklində komponentləri daxil qaxsımış olunur ki, onun iddiasını qəbul etmədi. Lakin, Elmlər Akademiyası riyaziyyatçı əldə nəticələr ignore və qanunların istilik keçirilməsi nəzəriyyəsi ona mükafatı, eləcə də fiziki təcrübələr ilə müqayisə aparılması bilmədi. Fourier yanaşma, əsas etiraz bir kəsilən funksiyası davamlı bir neçə sinüsoidal funksiyaları, bir məbləğ ilə təmsil olunur ki, faktdır. Bütün sonra, onlar düz bursting və əyri xətləri təsvir edir. Müasir alim belə bir vəziyyət, heç qarşılaşmadığı belə, kvadrat xətti, sine ya iştirakçı kimi, davamlı bir yerdə təsvir kəsilən funksiyaları. bir riyaziyyatçı onun iddialar düzgün olduğu halda, trigonometric funksiyaları sonsuz sıra məbləği dəqiq sürəti məhdudlaşdırılmalıdır. Belə bir iddia absurd görünürdü baxmayaraq. Lakin, bəzi tədqiqatçılar (məsələn Claude Navier, Sofi Zhermen) şübhə baxmayaraq tədqiqat dairəsini genişləndirib və istilik paylanması təhlili onları gətirdi. A riyaziyyat, eyni zamanda, bir neçə sinüsoidal funksiyaları məbləğ bursting dəqiq təmsil azaldılır sualına əziyyət davam etdi.

200 illik tarixi

Bu nəzəriyyə iki əsr ərzində inkişaf etmişdir, bu gün nəhayət formalaşır. məkan və ya müvəqqəti funksiyaları köməyi ilə tezlik, mərhələ və amplituda var sinüsoidal komponentləri bölünür. Bu dönüşüm iki müxtəlif riyazi üsullarla əldə edilir. mənbə davamlı funksiyası, ikinci zaman onların birinci halda istifadə olunur - bu diskret fərdi dəyişikliklər bir plüralizmi ilə təmsil olunur halda. əsas yuxarıda s aşağı və sonra iki dəfə, üç dəfə, və - ifadə diskret fasilələrlə müəyyən edilir dəyərlərin əldə olunarsa, bir neçə diskret sinusoidal tezliklərin ifadələr bölmək olar. Bu məbləğ adlanır Fourier seriyası. ilkin ifadə hər real sayı dəyəri müəyyən varsa, bu çox sinusoidal bütün mümkün tezliklərin bölünə bilər. Bu tərkib bir Furye adlanır və qərar inteqral funksiyası bir çevrilmə nəzərdə tutur. Asılı olmayaraq iki ədəd göstərməlidir hər tezliyi üçün, transformasiya almaq üçün metodu: amplituda və tezlik. Bu dəyərlər bir kimi ifadə olunur kompleks sayı. hesablamalar birlikdə Fourier çevrilmə ilə İfadə kompleks dəyişənlər nəzəriyyə müxtəlif elektrik sxemlərin dizayn icazə mexaniki vibrasiya təhlili dalğa təbliği mexanizmi və digər tədqiqi.

Fourier gün çevirmək

Hal-hazırda, bu prosesin öyrənilməsi əsasən ağla geri çevirmək funksiyası keçid üçün effektiv üsulları tapmaq üçün sonunda aşağı. Bu həll birbaşa və tərs Furye çevirmək adlanır. Bu nə deməkdir? üçün ayrılmaz müəyyən və birbaşa Fourier transform etmək, riyazi üsulları istifadə edə bilərsiniz, ancaq siz analitik bilərsiniz. onlar praktikada istifadə olunur bəzi çətinliklər var ki, baxmayaraq, ən inteqrallar artıq aşkar edilmişdir və riyazi kitabları daxil. ədədi üsullar köməyi hesablanır bilər ifadələri ilə forma olan eksperimental məlumatların masalar inteqrallar itkin olan bir funksiyası əsasında və onlar analitik formada təsəvvür etmək çətin olunur.

Belə dəyişikliklər çox yorucu olmuşdur kompüter mühəndisliyi hesablamalar Advent əvvəl, onlar dalğa funksiyası təsvir xal sayı asılıdır hesab əməliyyatları çox sayda əl icrasını tələb edir. yeni həyata keçirilməsi üçün icazə xüsusi proqramlar var, bu gün nizamlanması asanlaşdırmaq üçün analitik üsulları. Belə ki, 1965-ci ildə, Dzheyms Kuli və Dzhon Tyuki "Fast Fourier Transform" kimi tanınan oldu proqram yaratmışdır. Bu əyri təhlili multiplications sayının azaldılması ilə hesablanması zaman saxlayır. üsul vahid nümunə dəyərlər böyük bir sıra curve bölünməsi əsaslanır "Fast Fourier Transform". Buna görə, multiplications sayı xal sayı azaldılması eyni zamanda yarı yarıya azalır.

Fourier transform tətbiqi

Bu proses müxtəlif sahələrdə istifadə olunur: In sayı nəzəriyyəsi, fizika, siqnal emal, combinatorics, ehtimal nəzəriyyəsi, kriptoqrafiya, statistika, okeanoqrafiya, optika, akustika və digər geometrileri. istifadə üçün Rich imkanları deyilir faydalı xüsusiyyətləri bir sıra əsaslanır "Fourier çevrilmə xassələri." Bizə onları yoxlamaq edək.

1. dönüşüm funksiyası xətti operator və müvafiq normallaşma unitar edir. Bu əmlak Parseval teoremi kimi tanınan, və ya ümumi halda, teoremi Plansherelja ya Pontrjagin dualizm edir.

2. dönüşüm geri edir. Bundan başqa, əks nəticə müraciət birbaşa kimi mahiyyətcə oxşar forma deyil.

3. sinüsoidal əsas ifadələri öz fərqli funksiyaları. Bu nümayəndəliyi dəyişir o deməkdir ki, xətti tənliklər adi cəbri daimi əmsallı.

4. "convolution" teoremi görə, proses ibtidai vurma bir kompleks əməliyyat edir.

Diskret Furye Transform 5. tez "sürətli" metodu istifadə edərək kompüter tərtib edilə bilər.

Fourier varyasyonları çevirmək

1. Ən tez-tez termini xüsusi angular tezliklərin və genlik ilə kompleks exponential ifadə məbləğin hər hansı quadratically inteqral ifadə təmin davamlı transformasiya istinad üçün istifadə olunur. Bu növ müxtəlif sabit əmsallı ola bilər bir neçə müxtəlif formaları var. davamlı üsul riyazi kitabları bilər bir dönüşüm masa daxildir. A ümumiləşdirilmiş halda bu proses istənilən real güc qaldırıla bilər qovuşdurmağımız fraksiya dönüşüm edir.

2. fasiləsiz üsul hər hansı müəyyən Fourier sıra əvvəlki texnikanın bir ümumiləşdirmə edir dövri funksiyaları məhdud ərazidə mövcud olan və sinusoids bir sıra onları təmsil və ya ifadələr.

3. Diskret Furye çevirmək. Bu üsul elmi hesablama və digital siqnal emal üçün hesablama istifadə olunur. hesablanması bu cür həyata keçirmək üçün fərdi xal, dövri və ya məhdud rayon əvəzinə fasiləsiz Fourier inteqrallar bir diskret dəsti üzərində müəyyən bir funksiyası var tələb olunur. Bu halda Signal dönüşüm sinusoids cəmi kimi təmsil olunur. "Sürətli" metodu istifadə bütün praktiki məqsədlər üçün rəqəmsal həllərin istifadə etməyə imkan verir.

4. Fourier transform pəncərə klassik metodu ümumiləşdirilmiş rəyidir. Bu dəyişən mövcudluğu sıra alınır siqnal spektri istifadə standart həllər fərqli olaraq, burada xüsusi maraq doğurur orijinal dəyişən (time) qoruyarkən yalnız yerli tezlik paylanması.

5. iki ölçülü Fourier transform. Bu üsul məlumatların iki ölçülü Diziler ilə işləmək üçün istifadə olunur. digər - Belə olan halda, dönüşüm sonra bir istiqamətdə həyata, və.

nəticə

Bu gün Fourier üsul möhkəm elmin müxtəlif sahələrində kök salmış olunur. Məsələn, 1962-ci ildə bu X-ray difraksiya ilə birlikdə Fourier analiz edərək DNA ikili sarmal forma açdı. Son kristallarının film qeydə difraksiya ilə əldə bir şəkil, nəticədə DNA liflər diqqət. Bu şəkil Fourier bu kristal quruluşa çevirmək istifadə edərək amplitude dəyəri haqqında məlumat verdi. oxşar kimyəvi strukturlarının analizi əldə olunur kartları ilə DNA difraksiya kartları müqayisə ilə əldə Faza data. Nəticədə, bioloqlar kristal quruluşu bərpa - orijinal funksiyası.

Fourier kosmosa, yarımkeçirici materiallar və plazma, mikrodalğalı akustika, okeanoqrafiya, radar, seysmologiya və tibbi müayinələr fizika öyrənilməsi böyük rol oynayır çevirir.